深度解析：数据结构二叉树（1）

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目标

1. 掌握树的基本概念

2. 掌握二叉树概念及特性

3. 掌握二叉树的基本操作

1. 树型结构

1.1 概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

一图了解树

1.2 概念（重要）

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法 ， 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {

        int value ; // 树中存储的数据

        Node firstChild ; // 第一个孩子引用

        Node nextBrother ; // 下一个兄弟引用

}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合

1. 或者为空

2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

大自然的奇观：

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 K ，则它就是满二叉树 。

2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

加上题目理解：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）

A 383

B 384

C 385

D 386

这里和上面一样

4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ B）

A 11

B 10

C 8

D 12

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

顺序存储在下节介绍。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：

// 孩子表示法

class Node {

        int val ; // 数据域

        Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

        Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

}

// 孩子双亲表示法

class Node {

        int val ; // 数据域

        Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

        Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

        Node parent ; // 当前节点的根节点

}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{
    public static class BTNode{
        BTNode left;
        BTNode right;
        int value;
        BTNode(int value){
            this.value = value;
        }
    }
    private BTNode root;
    public void createBinaryTree(){
        BTNode node1 = new BTNode(1);
        BTNode node2 = new BTNode(2);
        BTNode node3 = new BTNode(3);
        BTNode node4 = new BTNode(4);
        BTNode node5 = new BTNode(5);
        BTNode node6 = new BTNode(6);
        root = node1;
        node1.left = node2;
        node2.left = node3;
        node1.right = node4;
        node4.left = node5;
        node5.right = node6;
    }
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， 二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 ) 。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， 如果按 照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的左子树，R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点 ---> 根的左子树 ---> 根的右子树。 （根左右）

LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根节点 --->根的右子树。 （左根右）

LRN ：后序遍历 (Postorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根的右子树 --->根节点。 （左右根）

// 前序遍历

void preOrder ( Node root );

// 中序遍历

void inOrder ( Node root );

// 后序遍历

void postOrder ( Node root )

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，同学们可自己动手绘制。

前序遍历结果：ABCDEFG

分析：

中序遍历结果：DBEAFCG

后序遍历结果：DEBFGCA

选择题

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 ()

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为 ()

A: E B: F C: G D: H

3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ()

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

4. 某二叉树的 后序遍历序列与中序遍历序列相同 ，均为 ABCDEF ，则按层次输出 ( 同一层从左到右 ) 的序列为 ()

A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A

前序遍历代码：

    //前序遍历
    void preOrder(BTNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.ch + " ");
        //递归遍历左子树
        preOrder(root.left);
        //递归遍历右子树
        preOrder(root.right);
    }

中序遍历代码：

  //中序遍历
    void inOrder(BTNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }

        //递归遍历左子树
        inOrder(root.left);

        System.out.print(root.ch + " ");

        //递归遍历右子树
        inOrder(root.right);
    }

后序遍历代码：

    //后序遍历
    void postOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        //递归遍历左子树
        postOrder(root.left);

        //递归遍历右子树
        postOrder(root.right);

        System.out.print(root.ch + " ");
    }

2.5.3 二叉树的基本操作

    // 获取树中节点的个数
    int size(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        //递归遍历左子树
        //递归遍历右子树
        int ret = size(root.left) + size(root.right) + 1;
        return ret;
    }
    // 获取叶子节点的个数
    int getLeafNodeCount(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }
    // 子问题思路-求叶子结点个数
    // 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(BTNode root,int k){
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +
                getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }
    // 获取二叉树的高度
    int getHeight(BTNode root){
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);

        return leftHeight > rightHeight ?
                leftHeight+1:rightHeight+1;
    }
    // 检测值为value的元素是否存在
    BTNode find(BTNode root,char val){
        if(root == null) {
            return null;
        }
        if(root.ch == val) {
            return root;
        }
        //左边找
        BTNode ret = find(root.left,val);
        if(ret != null) {
            return ret;
        }
        //右边找
        ret = find(root.right,val);
        if(ret != null) {
            return ret;
        }
        return null;
    }
    //层序遍历
    void levelOrder(BTNode root){
        //双向列表当列队
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        if(root == null) {
            return;
        }
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            BTNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.ch+" ");
            if(cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
        System.out.println();
    }
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(BTNode root){
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        if(root == null) return true;
        queue.offer(root);

        while (!queue.isEmpty()) {
            BTNode cur = queue.poll();
            if(cur == null) {
                break;
            }
            queue.offer(cur.left);
            queue.offer(cur.right);
        }
        while (!queue.isEmpty()) {
            BTNode node = queue.peek();
            if(node != null) {
                return false;
            }else {
                queue.poll();
            }
        }
        return true;
    }

好了，今天就到这里了，感谢观看。